GEOMETRIE DANS L’ESPACE

La géométrie dans l'espace consiste à étudier les objets définis dans la géométrie plane dans un espace à trois dimensions et à y ajouter des objets qui ne sont pas contenus dans des plans : surfaces (plans et surfaces courbes) et volumes fermés. Il s'agit donc de géométrie dans un espace à trois dimensions.

On peut adopter, dans l'espace à trois dimensions, les mêmes axiomes que la géométrie euclidienne.

Lorsque l'on étudie les objets de la géométrie plane, il suffit en général de se contenter de les imaginer dans un plan. Résoudre un problème revient ainsi à considérer différents plans et à étudier les propriétés des objets contenus dans ces plans. La solution vient en général du fait qu'un objet appartient à plusieurs plans à la fois.

Les objets sont dits «coplanaires» s'ils appartiennent à un même plan. Dans l’espace, l’axiome d’Euclide  a pour conséquence:

  • par deux droites sécantes, il passe un plan et un seul.
  • par deux droites parallèles non confondues, il passe un plan et un seul.
  • par trois points non alignés, il passe un plan et un seul.
  • par une droite et un point hors de cette droite, il passe un plan et un seul.

Donc on peut définir un plan par trois points non alignés / par deux droites sécantes / par deux droites parallèles non confondues / par une droite et un point hors de cette droite.

Les objets d’étude de la géométrie dans l’espace sont : les surfaces de révolution (cônes, cylindres, sphères, tores, ellipsoïdes, paraboloïdes, hyperboloïde,…), pyramides, prismes, polyèdres (solides de Platon, d’Archimède, étoiles, parallélépipèdes,…), surfaces gauches,…

  OPERATION BOOLEENNE EN GEOMETRIE

Union (ou addition)

Différence ou soustraction)

Intersection

Union booléenne en géométrie

Différence booléenne en géométrie

Intersection booléenne en géométrie

L'assemblage des deux objets

La soustraction d'un objet de l'autre

La partie commune aux deux objets

  • Union (ou addition) : le résultat est l'assemblage des deux objets.
  • Différence (ou soustraction) : le résultat est le premier objet moins la partie commune avec le second. Avec certains logiciels, il est possible d'inverser un objet (ce qui revient à faire la soustraction inverse)…
  • Intersection : le résultat est la partie commune aux deux objets. Il y a parfois la possibilité de réaliser cette opération sur plus de deux objets.

 

GEOMETRIE DE CONSTRUCTION

Les objets en Géométrie de construction de solides peuvent être représentés par des arbres binaires, dans lesquels les feuilles représentent les primitives, et les nœuds représentent les opérations.

De par sa nature mathématique, les volumes complexes décrits par cette technique ont des frontières parfaites et non approchées comme par les techniques à base de polygones par exemple. Ainsi, les bords d'une sphère seront parfaits, quel que soit le niveau de détail choisi.


Arbre binaire de géométrie constructive

·                     ∩ : intersection

·                     ∪ : union

·                     − : différence