GEOMETRIE PLANE

  C’est la partie que nous connaissons tous, que nous avons étudié en classe. Axiome d'Euclide

  C’est une géométrie euclidienne donc basée sur l’axiome d’Euclide qui peut s’énoncer de la manière suivante :

-       Par un point donné, il passe une unique droite parallèle à une droite donnée.

-       Par un point donné, il passe une unique droite perpendiculaire à une droite donnée.

-       Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles.

-       Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.

-       Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une l'est à l'autre.

  Médiatrice Médiatrice

-       La médiatrice d'un segment [AB] est la droite passant perpendiculairement par le milieu I de [AB].

-       La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

Perpendiculaire

  Deux droites perpendiculaires se croisent en formant un angle droit.

Angle

Un angle est défini par un sommet et deux côtés.

Angle plat :           180°

Angle droit :         90°

Angle aigu :          compris entre 0° et 90°

Angle obtus :        compris entre 90° et 180°

Angle saillant :      entre 0 et 180° Angles saillant et rentrant

Angle rentrant :     entre 180° et 360°

Angles complémentaires : deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure vaut 90°.

Angles supplémentaires : deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure vaut 180°.

Bissectrice d'un angle Bissectrice

-       On appelle bissectrice d'un angle la demi-droite issue du sommet partageant l'angle en deux angles de même mesure.

-       La bissectrice d'un angle est l'ensemble des points équidistants des deux côtés de l'angle.

Angle et polygones

  La somme des mesures des trois angles intérieurs d'un triangle vaut 180°.

La somme des angles intérieurs d’un polygone vaut le nombre de côtés du polygone moins deux multiplié par 180°. C'est-à-dire 360° pour un carré, 540° pour un pentagone, 720° pour un hexagone, etc.

Hauteur Hauteur d'un triangle

  Une hauteur dans un triangle est une droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

  Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point O appelé orthocentre.

Médiane

Une médiane est une droite passant par le milieu d’un côté d’un polygone. Quand le nombre de côté est impair les médianes passent par l’angle opposé (elles sont bissectrices de cet angle) alors que si le nombre côté est pair les médianes coupent le côté opposé en son milieu.

Propriétés :

1.     Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité. Toutes les médianes de polygone sont concourantes au centre de gravité du polygone.

2.     Le centre de gravité partage la médiane en proportion 1/3 et 2/3.

3.     La médiane partage le triangle en deux triangles de même aire. Elle partage d’ailleurs n’importe quel polygone en 2 demi polygones de même aire.

Médiatrice

Une médiatrice est une droite passant perpendiculairement par le milieu d'un côté.

Propriété : Les médiatrices d’un polygone sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit.

Triangle

-       Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur. Dans ce cas les médianes, les hauteurs et les bissectrices sont les mêmes.

-       Un triangle isocèle a 2 côtés de même longueur et donc 2 angles égaux aussi. Le 3ème côté est appelé base et le sommet commun aux deux côtés de même longueur est le sommet. Les angles à la base du triangle isocèle ont la même mesure. Les quatre droites remarquables issues du sommet du triangle isocèle sont confondues. Le triangle isocèle admet un axe de symétrie.

-       Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le plus grand côté est appelé hypoténuse, les autres côtés sont les petits côtés. Les deux angles aigus sont complémentaires. Le cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse. La médiane issue de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse. Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté du triangle alors le triangle est rectangle.

Trapèze

Un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés sont appelés petite et grande base du trapèze.

Parallélogramme

Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses deux côtés opposés parallèles 2 à 2. C’est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. C’est un quadrilatère dont deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. C’est un quadrilatère ayant un centre de symétrie (intersection des diagonales). Les angles opposés d’un parallélogramme sont de même mesure.

Losange

Un losange est un quadrilatère ayant ses 4 côtés de même longueur. C’est un quadrilatère dont les diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu. C’est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur. C’est un quadrilatère dont les diagonales sont des axes de symétries (et des bissectrices).

Rectangle

Un rectangle est un quadrilatère qui a 4 angles droits. C’est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu. C’est un parallélogramme ayant un angle droit. Un rectangle est un quadrilatère dont les médianes sont des axes de symétrie (et des médiatrices). Il est circonscrit au cercle de diamètre une diagonale.

Carré

Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a toutes les propriétés du losange et du rectangle. Il a ses diagonales de même longueur se coupant perpendiculairement en leur milieu. Un carré est un parallélogramme ayant un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur.

Théorème de Thalès

Théorème de Thalès

 

Les points A, B, D sont alignés et les points A, C, E sont alignés.

Si les droites (BC) et (DE) sont parallèles, alors : AB = AC = BC
                                                                         AD    AE     DE





Réciproque du théorème de Thalès


Réciproque du théorème de Thalès
 :

Les points A, B, D sont alignés et les points A, C, E sont alignés.

Si AB = AC, alors les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
    AD     AE







Transformation

Image M’ de M

Représentation

Symétrie axiale d’axe d

Si M d, alors M’ = M

Si M d, alors d est la médiatrice de [MM’]

Symétrie axiale

Symétrie centrale de centre I

Si M = I, alors M’ = I

Si M I, alors I est le milieu de [MM’]

Symétrie centrale

 

Propriétés des transformations

Les symétries axiales et centrales conservent les distances.

C’est à dire que, si A’ et B’ sont les images respectives de deux points quelconques A et B par l’une de ces transformations, alors A’B’ = AB

Les symétries transforment une droite en une droite.

Deux droites parallèles sont transformées en deux droites parallèles.

Deux droites perpendiculaires sont transformées en deux droites perpendiculaires.

Les symétries transforment : un segment [AB] en un segment [A’B’] de même longueur.

Le milieu I du segment [AB] en le milieu I’ du segment [A’B’] un cercle C en un cercle C’ de même rayon le centre O du cercle C en le centre O’du cercle C’ une intersection en l’intersection des images.

Les symétries axiales et centrales conservent les aires.

Angles

-      Angles formés par deux parallèles et une sécante

Angles correspondants

Angles alternes internes

Angles alternes externes

d1 // d2 â = b

Angles correspondants

d1 // d2 c = b

Angles alternes internes

d1 // d2 d = a

Angles alternes externes

Angles inscrits et angles au centre

-       Angles inscrits et angles au centre

 

 

La mesure de l’angle inscrit vaut la moitié de l’angle au centre correspondant : AMB = ½ AOB

Deux angles inscrits interceptant le même arc ont la même mesure : AMB = ANB

Demi cercle et trangle rectangle

 

-       Demi-cercle et triangle rectangle

ABC est un triangle et C le cercle de diamètre BC.

Propriétés :

ABC est rectangle en A si, et seulement si, [BC] est un diamètre du cercle circonscrit à ABC.

ABC est rectangle en A si, et seulement si, la médiane [AI] a pour longueur la moitié de la longueur de [BC].