SUITE DE FIBONACCI


Définition

Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l'on appelle suite de Fibonacci.
Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :

si on note Fn le nème nombre de Fibonacci, Fn = Fn - 1 + Fn - 2

Voilà les premiers nombres de la suite : F1 = 1 ; F2 = 1 ; F3 = 2 ; F4 = 3 ; ...etc

indice n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

...

Fn

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

...


Le nom de suite de Fibonacci a été donné par l'arithméticien français Edouard Lucas en 1817, alors qu'il étudiait ce qu'on appelle aujourd'hui les "suites de Fibonacci généralisées" obtenues en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci et qui suivent le même procédé de construction.
La plus simple d'entre elles, dont les deux premiers termes sont 1 et 3, s'appelle aujourd'hui ... la suite de ... Lucas ! (Elle commence par 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...). Les suites de Fibonacci et de Lucas sont très liées.


Quotient de deux nombres successifs de Fibonacci

Si on calcule les valeurs des quotients ; ; ; ... ; ; ... c'est-à-dire les quotients , on remarque que l'on obtient des nombres de plus en plus proches les uns des autres (sans jamais être égaux !) et se rapprochent du nombre d'or.
On peut démontrer que la suite des quotients a pour limite le nombre d'or lorsque n tend vers l'infini.        
En effet, la suite de Fibonacci définie par    F1 = 1 ; F2 = 1 et Fn = Fn - 1 + Fn - 2 pour n > 2,    est une suite récurrente linéaire d'ordre 2. Si on pose Fn = a x qn , avec q>0 at a non-nul, et que l'on reporte dans l'égalité Fn = Fn - 1 + Fn - 2, on obtient
a x qn = a x qn-1 + a x qn-2 soit q2 = q + 1 en simplifiant par axqn-2
et q est la solution positive de l'équation , c'est à dire le nombre d'or.

Une petite remarque : ceci ne dépend pas des premiers termes F1 et F2 de la suite.

Le théâtre d'Epidaure

Dans le théâtre d'Epidaure, construit en Grèce à la fin du IVème siècle avant JC, on a cherché à éviter la monotonie en répartissant les gradins en deux blocs.
Il y a 55 gradins répartis en 34 et 21.
Ce sont trois nombres successifs de la suite de Fibonacci et les rapports 34/21 et (34+21)/34 sont très proches du nombres d'or.
Les gradins sont partagés en "
extrême et moyenne raison».

Théatre d'Epidaure


Calcul général du nombre de Fibonacci de rang n

On a la formule suivante qui donne directement le nième nombre de Fibonacci sans connaître les précédents. 
On y voit clairement apparaître le nombre d'or.


Remarque : le terme est plus petit que 1 donc la partie de la formule tend vers zéro quand n devient grand.
Par conséquent, pour connaître Fn quand n est grand, il suffit de prendre la partie entière de .

Qui était Fibonacci ?

Portrait de Fibonacci

Fibonacci est né à Pise en 1175. Son vrai nom est Léonardo Pisano, ou Léonard de Pise.
Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.
(Bonacci signifie chanceux, de bonne fortune)

Bonacci est l'un des plus grands mathématiciens du moyen-âge.
C'est lui qui a introduit la numération décimale et l'écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père.


Pour en savoir plus sur Fibonacci : Une page de l'IREM de Tours qui regroupe des dossiers faits par des élèves (sur Fibonacci et aussi sur π).

Quelques résultats mathématiques sur les nombres de Fibonacci et de Lucas

On note (Fn) la suite de Fibonnacci définie par Fn = Fn - 1 + Fn - 2 ; F0 = 1 et F1 = 1.
On note (Ln) la suite de Lucas définie par Ln = Ln - 1 + Ln - 2 ; L0 = 1 et L1 = 3.
On note (Gn) une suite de Fibonnacci "généralisée" définie par Gn = Gn - 1 + Gn - 2 sans préciser les valeurs de G0 et G1.       

Voici quelques résultats intéressants.

1.     Fn2 = Fn-1 Fn-2 + e, où e = 1 ou -1

2.     Gn2 = Gn-1 Gn-2 + e (G22 - G12 - G1G2), où e = 1 ou -1

3.     Fn2 + Fn+12 = F2n+1

4.     Fn+22 - Fn+12 = Fn Fn+3

5.     Ln = Fn-1 + Fn+1

6.     FnLn = F2n

7.     Pour tout entier n, il existe une infinité de nombre de Fibonacci divisibles par n.

8.     Pour tout entier n, il existe un nombre de Fibonacci divisible par n, parmi les 2n premiers termes de la suite.

9.     Pour tout entier n différent de 3, si Fn est un nombre premier alors n est un nombre premier.
La réciproque est fausse ! F19 = 4181 = 37 x 113 est le plus petit contre-exemple.
On ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers parmi les nombres de Fibonacci.

10. Pour tout entier n différent de 3, si n n'est pas un nombre premier alors Fn n'est pas un nombre premier.
(Formulation contraposée de la proposition précédente)

11. F12 = 144 est le seul carré parfait de la suite de Fibonacci (à part les triviaux F0 = 1 et F1 = 1)

12. Fm+n = Fm+1Fn + FmFn-1

13. si m divise n alors Fm divise Fn

14. PGCD (Fn ; Fn+1) = 1 pour tout n

15. PGCD (Fm ; Fn) = FPGCD(m ; n)

La proposition 15 est fascinante !
Elle affirme que le PGCD de deux nombres de Fibonacci est aussi un nombre de Fibonacci et que, de plus, ce n'est pas n'importe lequel... Le rang du PGCD est le PGCD des rangs.