NOMBRE D’OR

    φ=1,6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486227052604628189024497072072041
        8939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635443338908659593958290563832266
        1319928290267880675208766892501711696207032221043216269548626296...
  Valeurs de φ
Racine carré de 5  
Si on en croit le théorème de Pythagore √5 est la longueur de la diagonale (l’hypoténuse) d’un rectangle de longueur 2 et de largeur 1.
 
L'inverse de φ (1/φ) est représenté par les 2 morceaux de diagonale de part et d'autre du disque de diamètre 1.
 
Version géométrique de φ  
Ce nombre est désigné par la lettre grecque Φ (phi, φ en minuscule) allusion au sculpteur Phidias.
Le rapport entre la largeur et la longueur de ce rectangle est le nombre d’or.
 
Propriétés remarquables : 1/φ=0,618...

                                                c'est-à-dire  φ²=2,618...

puissances de phi

Un simple nœud réalisé avec une bande de papier, puis soigneusement aplati est un "nœud d'or" ; il suffit de replier une des extrémités de la bande pour obtenir un pentagramme complet (pentagone régulier convexe avec ses cinq diagonales qui sont les côtés d'un pentagone régulier étoilé). Le rapport des côtés de ces deux pentagones réguliers est le nombre d'or φ.
Un rectangle dont le rapport longueur/largeur est égal à φ est un rectangle d'or ; sa construction est simple (avec AB=2AU, ABCD et ABC'D' sont deux rectangles d'or, et on obtient le premier en ajoutant un carré au second).
Les sommets de trois rectangles d'or deux à deux orthogonaux sont les sommets d'un icosaèdre régulier; plus généralement deux arêtes opposées d'un icosaèdre régulier définissent un rectangle d'or (il y en a donc 15).
Un losange dont le rapport des diagonales est égal à φ est un losange d'or (ses sommets sont les milieux des côtés d'un rectangle d'or).
Le pentagramme fait apparaître plusieurs sections dorées et plusieurs exemplaires des deux types de triangles d'or (triangles isocèles dont le rapport des côtés égal à φ; leurs angles mesurent  72°-36°-72°  et  36°-108°-36°).